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【博客大赛】卡尔曼滤波学习笔记(三)状态空间

2018-6-4 14:40 643 2 2 分类: 处理器与DSP 文集: 卡尔曼滤波

对一个弹簧阻尼振动器做建模,会发现它的动力学方程是一个二阶表达式:

其中,m是负载的质量,t是时间,ks是弹簧系数,kd是阻尼系数。

这个表达式就不具体分析了,相信理解起来并不困难。


现在将此二阶微分方程转换成两个一阶微分方程,以此类推,任何高阶微分方程都可以这么操作。

以此形成的一阶微分方程组合,成为状态方程:

其中,t是时间,x是依赖的变量,r是已知的输入个数。


当ui和xi无关时,状态方程称为非齐次状态方程。

当ui和xi相关时,状态方程称为齐次状态方程。在控制系统里,齐次状态方程很常见。


x的个数表征了系统的自由度,所以x又被称为状态变量,它的集合被称为状态矢量:


对于一个弹簧阻尼振荡器来说,有如下状态空间表达式:

δ是我们需要估计的值,也就是负载的质心离初始点的位置。δ以及δ的一阶微分组成了状态矢量。

Fc是系数矩阵,它由牛顿力学定律导出。


弹簧阻尼振荡器是在连续时间上的建模,有的时候我们只关心离散时间。

对于连续时间系统,有:

对于离散时间系统,有:

它们的状态空间形式还是有差异的。


只要物理现象本身容易抽象,且对它的数学建模清晰,状态方程很容易得出。

看到这里,是不是觉得卡尔曼滤波并不难以理解?哈哈,咱们拭目以待。


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