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【原创】滤波器的时域理解

    刚接触数字滤波器概念的时候,从频域理解是最直观的。但是在很多时候,比如说大部分的教科书在描述数字滤波器的时候,往往是从时域描述开始的。在时域来描述滤波器的工具是卷积。

       卷积可以说是数字信号处理中最重要也最基本的概念之一了,但由于其更多依赖数学公式,因此也往往不易被理解。要在时域理解滤波器的工作过程,其实质就是理解卷积的工作过程。

       卷积的概念通常可以从两个方面来理解。一是从输入信号的角度来看,卷积的过程相当于是把一个相对复杂的信号分解成多个单位冲激信号之和,输出则是多个单位冲激响应之和。单位冲激信号是最简单的信号,每个信号都可以分解成不同幅度及不同延时的单位冲激信号之和,根据线性时不变系统的特征,不同幅度及不同延时的单位冲激信号其对应的系统响应是对应幅度及延时的单位冲激响应。对这些不同幅度及延时的单位冲激响应求和即得到系统的输出,及卷积的结果。这种思路的实质是将一个相对复杂的信号分解为相对简单的信号,再利用相对简单的信号其系统响应也相对简单的特点,在线性时不变系统的框架下,在输出端再重新相加得到最终的结果。这种“分解——分析——叠加”的思路是数字信号处理最基本的思路之一。

       卷积的另一种是从输出信号的角度看,每个输出信号是对输入信号乘以不同的权值,然后累加的结果。我们通常的数学描述多是从这个角度来看的。

       初学卷积概念的时候,很不好理解为什么要将一个信号翻转呢?实际上,从输入信号的角度看,对单位冲激响应的翻转是很自然的。假定输入信号为x(m), m="0",1,…,M-1,单位冲激响应为h(n), n="0",1,…,N-1。对x(0)来说,对输出端造成的系统响应是x(0)h(n),即是说,x(0)造成的系统响应仅仅是对单位冲激响应乘上了一个幅度,这个幅度值为x(0),响应的长度为N。对x(1)来说,因为延迟了单位时间,因此除考虑幅度的影响外,还要考虑延时的影响,根据线性时不变系统的特性可知,此时的系统响应为x(1)h(n-1)。同理,对任意一个m值来说,其对应的系统响应为x(m)h(n-m)。由此可以看出,在计算卷积时要将h(n)先翻转实在是最自然不过的事。最终的系统响应是要把所有上述响应相加,这正好与通用的卷积公式是完全一样的。

       再回到数字滤波器,在时域的理解即是输入信号与单位冲激响应的卷积,也即是说,当前时刻的滤波结果,是对当前及之前若干个输入信号加上不同系数的权值,然后再累加的结果。权系数的不同,代表了不同的滤波特性。

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