tag 标签: 傅里叶

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  • 2017-11-28 20:05
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    信号的上升时间,对于理解信号完整性问题至关重要,高速pcb设计中的绝大多数问题都和它有关,,很多信号完整性问题都是由信号上升时间短引起的,你必须对他足够重视。 信号上升时间并不是信号从低电平上升到高电平所经历的时间,而是其中的一部分。对于信号上升时间通常有两种:第一种定义为10-90上升时间,即信号从高电平的10%上升到90%所经历的时间。另一种是20-80上升时间,即信号从高电平的20%上升到80%所经历的时间。两种都被采用。 带宽是指被测信号幅值衰减到0.707倍时对应的频带宽度。幅度的平方即为功率,平方后为0.5倍,带宽也即功率衰减到一半时的频带宽度。 重要的是我们必须建立这样的概念:上升时间对电路性能有重要的影响,只要小到某一范围,就必须引起注意,哪怕是一个很模糊的范围。没有必要精确定义这个范围标准,也没有实际意义。因此只需记住,现在的芯片加工工艺使得这个时间很短,已经到了ps级,你应该重视他的影响的时候了。 随着信号上升时间的减小,反射、串扰、轨道塌陷、电磁辐射、地弹等问题变得更严重,噪声问题更难于解决。 信号上升时间的减小,从频谱分析的角度来说,相当于信号带宽的增加,也就是信号中有更多的高频分量,正是这些高频分量才使得设计变得困难。互连线必须作为传输线来对待,从而产生了很多以前没有的问题。因此,学习信号完整性,你必须有这样的概念:信号陡峭的上升沿,是产生信号完整性问题的罪魁祸首。 对于数字电路,输出的通常是方波信号。方波的上升边沿非常陡峭,根据傅立叶分析,任何信号都可以分解成一系列不同频率的正弦信号,方波中包含了非常丰富的频谱成分。如下图周期性方波信号的傅里叶级数展开为 可以用实验来直观的分析方波中的频率成分,看看不同频率的正弦信号是如何叠加成为方波的。下图是7次谐波合成的波形,21次谐波合成的波形以及41次谐波合成的波形。这里可以直观的看到:叠加的谐波成分越多,波形就越像方波。 因此如果叠加足够多的谐波,我们就可以近似的合成出方波。下图是叠加到217次谐波后的波形。已经非常近似方波了,不用关心角上的那些毛刺,那是著名的吉博斯现象,这种仿真必然会有的,但不影响对问题的理解。这里我们叠加谐波的最高频率达到了21.7GHz。  在通过下图我们可以看到,谐波分量越多,上升沿越陡峭。或从另一个角度说,如果信号的上升边沿很陡峭,上升时间很短,那该信号的带宽就很宽。上升时间越短,信号的带宽越宽。红色是基频+3次谐波+5次谐波+7次谐波后的上升边沿,黑色是一直叠加到217次谐波后的波形上升边沿。 这里说一下,最终合成的方波,其波形重复频率就是100MHz。叠加谐波只是改变了信号上升时间。信号上升时间和100MHz这个频率无关,换成50MHz也是同样的规律。如果你的电路板输出数据信号只是几十MHz,你可能会不在意信号完整性问题。但这时你想想信号由于上升时间很短,频谱中的那些高频谐波会有什么影响?记住一个重要的结论:影响信号完整性的不是波形的重复频率,而是信号的上升时间。
  • 热度 4
    2015-5-12 15:56
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    一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是:http://www.dspguide.com/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换?傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830),Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。 当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace,1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 三、傅立叶变换分类 根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别: 1 非周期性连续信号 傅立叶变换(Fourier Transform) 2 周期性连续信号 傅立叶级数(Fourier Series) 3 非周期性离散信号 离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform) 4 周期性离散信号 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 下图是四种原信号图例: 这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的的长度是无穷大的,我们知道这对于计算机处理来说是不可能的,那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢?没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大,我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难,方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来表示,这样,这个信号就可以被看成是非周期性离解信号,我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。还有,也可以把信号用复制的方法进行延伸,这样信号就变成了周期性离解信号,这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号,对于连续信号我们不作讨论,因为计算机只能处理离散的数值信号,我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。 但是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示,这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换(DFT)才能被适用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理,对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到,在计算机面前我们只能用DFT方法,后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。 每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法,对于实数方法是最好理解的,但是复数方法就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知识,不过,如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT),再去理解复数傅立叶就更容易了,所以我们先把复数的傅立叶放到一边去,先来理解实数傅立叶变换,在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论,然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。 还有,这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不同的,函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。 四、傅立叶变换的物理意义 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 五、图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。 傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。 另外我还想说明以下几点: 1、图像经过二维傅立叶变换后,其变换系数矩阵表明: 若变换矩阵Fn原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)。
  • 热度 3
    2015-5-12 15:37
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    这篇文章的核心思想就是: 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 昨天上一篇文章发出来之后,大家真是很下工夫啊,有拿给姐姐看的,有拿给妹妹看的,还有拿给女朋友看的,就是为了听到一句“完全看不懂啊”。幸亏我留了个心眼,不然就真的像标题配图那样了。 我的文章题目是,如果看了这篇文章你“还”不懂就过来掐,潜台词就是在你学了,但是没学明白的情况下看了还是不懂,才过来掐死我。 这里郑重感谢大连海事大学的吴楠老师,一位学识渊博、备课缜密、但授课不拘一格的年轻教师!当时大三他教我通信原理,但是他先用了4结课帮我们复习了很多信号与系统的基本概念,那个用乐谱代表频域的概念就是他讲的,一下子让我对这门课豁然开朗,才有了今天的这篇文章。 ———今天的定场诗有点长——— 下面继续开始我们无节操的旅程: 上次的关键词是:从侧面看。 这次的关键词是:从下面看。 在第二课最开始,我想先回答很多人的一个问题:傅里叶分析究竟是干什么用的?这段相对比较枯燥,已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。 先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视,我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道,就是频率的通道,不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事: 先在纸上画一个sin(x),不一定标准,意思差不多就行。不是很难吧。 好,接下去画一个sin(3x)+sin(5x)的图形。 别说标准不标准了,曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧? 好,画不出来不要紧,我把sin(3x)+sin(5x)的曲线给你,但是前提是你不知道这个曲线的方程式,现在需要你把sin(5x)给我从图里拿出去,看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。 但是在频域呢?则简单的很,无非就是几条竖线而已。 所以很多在时域看似不可能做到的数学操作,在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分,这在工程上称为滤波,是信号处理最重要的概念之一,只有在频域才能轻松的做到。 再说一个更重要,但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。(这段有点难度,看不懂的可以直接跳过这段)微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除,还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法,大学数学瞬间变小学算术有没有。 傅里叶分析当然还有其他更重要的用途,我们随着讲随着提。 下面我们继续说相位谱: 通过时域到频域的变换,我们得到了一个从侧面看的频谱,但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少,而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中,振幅,频率,相位缺一不可,不同相位决定了波的位置,所以对于频域分析,仅仅有频谱(振幅谱)是不够的,我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢?我们看下图,这次为了避免图片太混论,我们用7个波叠加的图。 鉴于正弦波是周期的,我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰,而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢?为了看的更清楚,我们将红色的点投影到下平面,投影点我们用粉色点来表示。当然,这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离,并不是相位。 这里需要纠正一个概念:时间差并不是相位差。如果将全部周期看作 2Pi 或者 360 度的话,相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi,就得到了相位差。 在完整的立体图中,我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期,就得到了最下面的相位谱。所以,频谱是从侧面看,相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话,可以告诉她:“对不起,我只是想看看你的相位谱。” 注意到,相位谱中的相位除了0,就是Pi。因为cos(t+Pi)=-cos(t),所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数,这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是,由于cos(t+2Pi)=cos(t),所以相位差是周期的,pi和3pi,5pi,7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi,pi],所以图中的相位差均为 Pi。 最后来一张大集合: 好了,你是不是觉得我们已经讲完傅里叶级数了? 抱歉让你失望了,以上我们讲解的只是傅里叶级数的三角函数形式。接下去才是最究极的傅里叶级数——指数形式傅里叶级数。但是为了能更好的理解指数形式的傅里叶级数,我们还需要一个工具来帮忙——欧拉公式。 欧拉公式,以及指数形式的傅里叶级数,我们下一讲再讲。谢谢大家(鞠躬)。 今天讲的部分不多,但是我希望大家能够理解,我也有自己的生活,留给知乎的时间并不多,但是我很喜欢在知乎与别人交流的过程。上一次的那些文章大家知道我当时写了多久么?四天,每天写6小时那种,而且当时还是在假期。主要是图太不好做了,有人问到作图的方法,其实就是简单的MATLAB+PHOTOSHOP,作图的确是很费时间,但是我相信做出这些图是值得的,因为我相信图一定比文字更好理解。也希望可以将这些自己学习时的感受和经验更完整的分享给需要的人。 所以请大家稍微有点耐心,我会认真把这个故事讲完。也谢谢大家的理解和支持。 喜欢本文,请分享给好友,大家的鼓励才是分享的动力!
  • 2015-5-12 15:35
    1271 次阅读|
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    这篇文章的核心思想就是: 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。(您把教材写得好玩一点会死吗?会死吗?)所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题: 抱歉,还是要啰嗦一句:其实学习本来就不是易事,我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松,充满乐趣。但是千万!千万不要把这篇文章收藏起来,或是存下地址,心里想着:以后有时间再看。这样的例子太多了,也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何,耐下心,读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 想看详细内容下载附件…… 附件—— 【傅里叶专场】错过这篇文章,可能你这辈子不懂什么叫傅里叶变换了(一)
  • 热度 1
    2012-12-26 09:29
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            傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成,也就是说,把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加,那对于非周期信号来说,每个信号的 加权 应该都是 零 ——但有密度上的差别,你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小,但这些无限小是有差别的             所以,傅里叶变换之后,横坐标即为分离出的正弦信号的频率,纵坐标对应的是 加权密度 ( 加权 和 加权密度 是两个概念 )             对于周期信号来说,因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分,所以其 加权 不为零——在 幅度谱 上,表现为 无限大 ——但这些无限大显然是有区别的,所以我们用冲激函数表示(从 强度 意义上来理解)。            傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示,因此非正弦信号进行傅里叶变换,会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号,使之趋近于原信号的。所以说,频谱上频率最低的一个峰(往往是幅度上最高的),就是原信号频率。            傅里叶变换把信号由时域转为频域,因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下,我们隔一段时间采集一次信号进行变换,才能体现出信号在频域上随时间的变化。    
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